GİRİŞ.

Matematiğin diğer bilimlerindeki uygulamalarına geçmeden önce insan hayatında da ne kadar önemli bir yeri olduğuna değinmek yerinde olur. Matematik konusunda eğitimi olmayan insanlar matematik deyince sadece cebirsel işlemleri anlarlar. Halbuki insanların hayatlarını kolaylaştıran pek çok şeyde matematiğin çok önemli bir yeri ve önemi vardır. Modern bilimin insanların hizmetine sunduğu ve günlük hayatta kullanılan dijital saatler, televizyon, cep telefonu, bilgisayar, otomobiller, ısıtma sistemleri, her tür medya cihazı v.b. insanların hayatını kolaylaştıran şeylere örnek olarak verilebilir. Matematik, fen bilimlerinde, sosyal bilimlerde hatta sağlık bilimlerinde uygulanarak bu bilimlerin gelişmesine katkıda bulunmaktadır. Bu tür bilimlerde karşılaşılan problemlerin çözülebilmesi için önce matematiksel modelinin kurulması daha sonra da bu modele göre problemin çözülmesi gerekir. Bu açıdan diğer bilimler matematik olmadan bir adım dahi ilerleyemezler. Bir mühendisin hazırladığı projede matematiksel hesaplamalar yapmadan projesini tamamlaması mümkün değildir. Ekonomistler matematiksel temelleri olmadan gerekli hesapları yapıp değerlendirmelerini yapamazlar. Hava durumu tahmini yaparken bile matematiksel teoriler temel alınarak tahminler yapılır. Sağlık alanında kullanılan cihazlarda mesela EEG cihazlarında Fourier Teorisinin önemli bir yeri vardır. Bu şekilde daha birçok örnek vermek mümkündür.

MATEMATİĞİN ÖNEMİ

Matematik, genel mantığın uygulama alanı ve insan zekasının bu yolda işlemesi görevini görür. Ayrıca; mekanik, fizik, astronomi bilimlerinin de temelini teşkil eder.Bunların dışında, sosyal bilimler, tıp, jeoloji, psikoloji, sosyoloji ve iş idareciliği gibi alanlarda da, matematiğe geniş bir ihtiyaç duyulur ve yaygın bir şekilde kullanılır.

Bugünün medeniyetinde ön safı tutan, büyük endüstri ve yan kuruluşları, istihkam hizmetleri hep matematiğin yardımı ile yapılmış eserlerdir. Onun için en soyut ilim olan matematik, ikinci elden pratik hayata da tesir ediyor demektir. Denilebilir ki, günlük yaşantımızın her evresinde karşı karşıya olduğumuz bir bilimin tarihini bilmek, matematiğin önemini kavramanın temeli olsa gerekir [1].

MATEMATİĞİN TEMEL İLKELERİ

Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi, her hükmü de isğat etmek mümkün değildir. Bir kelime, başka kelimelerle tanımlanır, bu sonuncular da, daha başka kelimelerle tanımla-nır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için, sonsuz şekilde geriye gitmek gerek-mektedir ki, bunun imkansız olduğu ortaya çıkar. Bunun gibi; matematikte, bir teorem, başka teoremlerle, o teoremle de başkalarıyla ispat edilir. Herşeyi ispat için, imkansız olan, bir son-suz geriye gitme lazım geldiğinden, ister istemez bir yerde durma gerekiyor. O halde, nasıl ki, tanımlamayan şeyler varsa, öylece ispat edilmeyen şeyler de vardır. İspat edilemeyen şeylere, matematikte prensip-ler adı verilir. Gerçi, prensipler ispat edilemezler, fakat herşey bunlara dayanarak ispat edilir. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin sebebi budur.

Matematiğe ait, sistematik esereler meydana getiren Eski Yunan matematikçileri, bazı hü-kümleri ispatsız kabul etmek lazım geldiğinin farkına varmışlardır. Bunlardan Öklid , Element-ler adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da "Kabulü İstenen Şeyler" adını vermiştir. Zamanla, bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir. Örneğin, 19. yüzyıla kadar, matematikçiler, Öklid'in ispatsız kabul ettiği ve Öklid Postülatı denilen "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan, o doğruya yalnız bir paralel doğru çizilebilir" şeklindeki hükmünü is-pat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız birtakım hükümler, yeni yeni prensipler ka-bul edilmiştir. Eskiden beri, matematikçiler tarafından, matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır [1]. Bunlar:

   Tanımlar

   Aksiyonlar  

   Postülatlar

MATEMATİĞİN ÖTEKİ BİLİMLERLE İLGİSİ VE ÖTEKİ BİLİMLERDEN FARKLARI

Matematik öteki müsbet bilimlerin gelişmesini sağlar. Matematiğin öteki bilimlerle olan başka bir ilginç özelliği de; öteki bilimlerin de matematiğin bugünkü ileri seviyeye gelmesinde katkısı olmuştur. Örneğin: 17. yüzyıl başlarında, gökcisimleri yörünge hesapları sırasında, mevcut matematik bilgiler, astronomlar için yeterli olmamıştır. Netice itibariyle de, astronomların zorlamaları sonucu, matematikçiler tarafından, diferansiyel denklem kavramları ortaya konmuştur.

Fen bilimlerinden olan; fizik, kimya ve astronominin varlığı düşünüldüğünde, bu bilimlerde temel özellik, gözlem ve deneye dayalı, aynı zamanda da ölçülebilir olmasıdır. Halbuki matematik, soyut bir bilim olmakta ve temel konusu da sayılar ve çevremizde gördüğümüz şekillerdir. Matematiğin öteki bilimlerden farklarını ise, şu şekilde sıralamak mümkündür: Sembol ve şekiller kullanılır, uygulama alanı geniş, soyut ve kesin sonuç esasına dayanır, kesin kanunları vardır, kendisini devamlı yeniler, öteki bilimlerde yapılan çalışmaları kanuniyet halinde ifade edilebilir duruma getirir, var olanı inceler, kesin sonuç verir, birbirine bağımlı olarak sürekli gelişme gösterir ve gelişmeleri birbirini tamamlar [1].

BİLİM TARİHİNDE MATEMATİK

Matematikle ilgili eserler incelendiğinde; birinci grup olarak, Eski Yunan matematikçilerin-den Thales (M.Ö. 624-547), Pisagor (M.Ö. 569-500), Zeno (M.Ö. 495-435), Eudexus(M.Ö. 408-355), Öklid (M.Ö. 330?-275?), Arşimed (M.Ö. 287-212), Apollonius (M.Ö. 260?-200?), Hipparc-hos (M.Ö. 160-125), Menaleas (doğumu, M.Ö. 80) İskenderiyeli Heron (? -M.S.80) , Batlamyos (85- 165) ve Diophantos (325-400) ile bunların çağdaşlarının adları görülür. Daha sonra, ikinci grup olarak da Batı Dünyası matematikçilerinden; Johann Müler (1436-1476), Cardano (1501-1596), Descartes (1596. 1650), Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662), Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716), Mac Loren (1698-1748), Bernoulli'ler (Bu aileden sekiz ünlü matematikçi vardır. Bunlar; Jean Ber-noulli l667-1748, Jacques Bernoulli 1654-1705, Daniel Bernoulli 1700-1782...), Euler (1707-1783), Gespard Monge (1746-1818), Lagrance (1776-1813), Joseph Fourier (1768-1830), Poncolet (1788-1867), Gauss (1777-1855), Cauchy (1789-1857), Lobaçevski(1793-1856), Abel (1802-1829), BooIe (1815-1864), Riemann (1826-1866), Dedekind (1831-1916), H. Poincare (1854-1912) ve Cantor (1845-1918) ile bunların çağdaşlarının adları belirtilir. .

Yukarıda; birinci grup olarak belirttiğimiz; Eski Yunan (Antik çağ, Grek) matematikçileri; M.Ö. 8. yüzyıl ile M.S. 2. yüzyıl arasında, ikinci grup olarak belirttiğimiz Batı Dünyası matematikçileri ise, 16. ile 20. yüzyıl arasında yaşamışlardır: Burada akla şöyle bir soru gelmektedir. 16. yüzyıldan önceki zaman içerisinde matematik konularında hiç bir araştırma ve çalışma olmamış mıdır? Özellikle, islamiyetin ilk yılları olan 7. yüzyıl ile 16. yüzyıl arasında yaşamış olan Türk-İslam Dünyası matematik bilginlerinin varlığı ve

çalışmaları görmezlikten gelinmiştir.
         

Gerçek olan şu ki; Türk - İslam Dünyası matematikçileri, yukarıda birinci grup olarak adlarını belirttiğimiz Eski Yunan bilginlerinin ortaya koyup, yeterli çözüm getiremedikleri, matematik sorunlarına yeni çözümler getirdikleri gibi, bu bilime yeni sistem, kavram ve teorem kazan-dırmışlardır. Bu başarılarının sonucu bugünkü ileri matematiğin temelini atmışlardır. Her ne kadar, Batılı bazı bilim tarihçileri, Eski Yunan matematiğini geliştirmiş olmakla vasıflandırı-yorlarsa da, son yüzyıl içinde yapılan araştırmalar, bu hükmün temelinden yanlış olduğunu ortaya koymuşlardır.
         

Ülkemizde, evrensel nitelikteki kendi alimlerimizin bilimsel yönlerine gereken ve yeterli ö-nem verilmezken; Batı'da, özellikle son yüzyıl içerisinde, bilginlerimize ait yüzlerce cilt eser ve makalelerin yayınlandığı, hatta bu bilginlerimiz için, yaşadığı yüzyıllara adlar verildiği ve anma törenleri düzenlendiğini görmek mümkündür. Bunlardan birkaç örnek vermek gerekirse; dünyada ilk cebir kitabı yazanın Harezmi (Harezm 780-Bağdat 850), trigonometrinin te-mel bilginlerinden olan sinüs ve cosinüs tanımlarını ilk açıklayan el-Battani (Harran 858-Sa-marra 929) , tanjant ve cotan-jant tanımları ile ilgili temel bilgileri Ebu'l Vefa (Buzcan 940-Bağ-dat 998), Pascal'a (Blaise Pascal 1623-1662) izafe edilen ve cebirde önemli kuralları ihtiva eden "Binom Formülünün" Ömer Hay-yam'a (1038 - Nişabur 1132) ait ve Kepler'in (Johannes Kepler 1570-1630) araştırmalarına reh-berlik edenin İbn-i Heysem (Basra 965-Kahire 1039) olduğunu belirtebiliriz. Ayrıca Sabit bin Kurra (Harran 826 - Bağdat 901) için "Türk Öklid'i" bi-lim dünyasının en büyük alimi, Beyruni (Bruni) (Ket 973-Gazne 1052) için "Onuncu Yüzyıl Bilgi-ni", ünlü Türk hükümdarı Uluğ Bey için "On Beşinci Yüz-yıl Bilgini" öğrencisi Ali Kuşçu için "On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" dendiğini

de belirtmek mümkündür.
         

Yukarıda sadece birkaçının adını belirttiğimiz 8. ile 16. yüzyıl Türk - İslam Dünyası alimlerinin eserleri, Batı'da "Tercüme Yüzyılı" olarak adlandırılan 12. yüzyıl başlarından itibaren, önceleri zamanın bilim dili olan Latince'ye, daha sonradan da, öteki Batı dillerine çevrilmiştir. Çevrilen bu eserlerin asılları ise, Doğu Yazma Eserleri ile zengin olan Avrupa kütüphanelerinde muhafaza edilmekte ve hala, ilgili bilim adamlarının elinde, gerektiğinde temel müracaat kitabı, ya da kaynak eser olarak değerlendirilmektedir.

Bazı kaynaklar, matematiğin kurucusu ve geliştiricisi olarak, Batı dünyası matematikçilerinin adlarını belirtir. Gerçekte; Avrupa, 8. ile 16. yüzyıl Türk - İslam Dünyası matematikçilerinin ha-zırlamış oldukları temel eserlerden büyük istifadeler sağlayarak, matematiği, bugünkü ileri seviyesine ulaştırabilmişlerdir. Öyle ki; Türk - İslam Dünyası matematikçileri, Batı dünyasının ilmi düşünce ve araştırma duygularını ateşleyerek harekete geçirip beslediler ve yeni bir canlılık kazandırdılar. Cebir, geometri, aritmetik ve trigonometri konularında Batı'yı kendi görüş ve keşiflerine dayanarak ilerleyebileceği seviyeye getirdiler. 16. yüzyıl sonları için İtalyan matematikçi Cordano'nun (1501-1576) adını belirtebiliriz.
         

17. yüzyılda; İngiliz (İskoçyalı) Jean Napier (1550-1617), İsviçre matematikçilerinden Gulden (1577-1643); İtalyan matematikçilerinden Cavalieri (1598-1647); Fransız matematikçilerinden René Descartes (1596-1650), Desargues (1593-1662), Blaise Pascal (1623-1662), Pierre Fermat (1601-1663); Hollandalı matematikçi Huygens'in (1629-1695) adlarını belirtebiliriz. Bu kişilerden J. Napier logaritmaya ait sistemleri ortaya koymuştur. R.Descartes de analitik geometriye ait yeni bazı temel esasları ortaya koymuş, mevcut analitik geometri bilgilerini sistemleştirmiştir. Diğer matematikçiler de, matematiğin çeşitli dallarına

ait, bazı yeni temel bilgiler kazandırmışlardır.


 

18. yüzyılda; İsviçre matematikçilerinden; Bernouilli (Jacques I 1654-1705), Cramer (1704-1752), Leonard Euler (1707-1783), Alman matematikçilerinden Gottfried Wilhelm Leibniz (1146-1716), İngiliz matematikçilerinden lsaac Newton (1642-1727), Mac-Loren (1698-1746), İtalyan matematikçilerinden Ceva (1648-1734), Riccati (1676-1754), Fransız matematikçilerinden Clairaut'in (1713-1765) adlarını belirtebiliriz.
         

19. yüzyıl Fransız matematikçilerinden; Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Gespart Monge (1746-1818), Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Joseph Fourier (1768-1830), Galois (1811-1832), Legendre (1752-1833), F. W. Bessel (1784-1846), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Jean-Victor Poncolet (1788-1857), Poinsot (1771-1859), Brianchan (1785-1864), Dupin (1784-1873), Chasley (1793-1880), Charles Hermite (1822-1901); İtalyan matematikçilerden Carnot (1753-1823); Norveç matematikçilerinden Niels Henrik Abel (1802-1829), Alman matematik-çilerden, Jacobi (1804-1851), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Gerge Friedrich Berhard Riemann (1826-1866), Leopold Kronecker (1823-1891), Erust Kummer (1810-1893), Weier-strass (1815-1897); Sovyet matematikçilerinden Nicolas lvanawitch Lobatchewsky (1793-1856), Sonia Kowallewska (1850-1891); ingiliz matematikçilerden Gerge Boole (1815-1864), Cayley (1821-1895), James Joseph Sylvester (1814-1897) ve İrlandalı matematikçi William Rawan Hamilton (1805-1865) adlarını belirtebiliriz. Bu kişilerden; Gasport Monge, tasarı geo-metrinin; Carnot, konum geometrisinin; Newton, sonsuz küçükler geometrisini; Pascal, Huygens ve Fermat da, olasılık hesabını ve gökmekaniğini geliştirdiler.

20. yüzyıl başları için; Alman matematikçilerinden Dedekind (1831-1916), L.Fhillip Cantor (1845-1918), Fransız matematikçilerinden Henri Poincare'nin (1854-1912), ülkemizde de, Henri Poincare'nin öğrencisi Salih Zeki'nin (1864-1921) adlarını belirtebiliriz. Daha sonra gelen; Alman, İngiliz, Fransız, Amerika Birleşik Devletleri ve Sovyet Sosyalist Cumhuriyetleri Birliği, Japonya ve Hindistan ile Çin'de yetişen matematikçiler, matematiğe kazandırdıkları yeni bilgiler ile, matematiği insan zekasının en yüksek eseri haline getirmeyi başardılar. 
         

Yapılacak kısa açıklamalardan sonra, şu gerçek ortaya çıkacaktır. Bugünkü ileri matematik ve bunun uygulama alanı olan astronomi (gökbilim) ve fiziğin temel bilgileri, uygulamaları ile birlikte, başlangıçta, Eski Mısır ve Mezopotamya'da vardı. Daha sonraları bu bilgiler, Eski Yunan, Eski Hint ve 8. ile 16. yüzyıl Türk - İslam Dünyasında ileri seviyeye gelmiştir. Bilahare 17. yüzyıl sonrası, Batı Dünyasında yapılan çalışmalar sonucunda, bugünkü "Saadet Devrine" ulaşabilmiştir. Bu gelişimde, 17. yüzyıl öncesi medeniyetlerin şeref payları inkar edilemeyecek kadar açıktır [1].

ALTIN ORAN

Günümüzde birçok yerde karşımıza çıkan altın orana göz nizamının oranı diyebiliriz.  Çoğu zamam doğayı gözlemlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Mesela ideal insanın ölçü-lerine göre boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Bunu simgelerle belirtecek olursak:

İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insan-daki ölçüler şu denklemi sağlamalı:

                                       x / y = y / (x - y).

İdeal insanda sağlanması istenen bu orana yani x / y oranına , altın oran denir. Buradan denklem düzenlenirse x / y oranı:

 Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz:

·        ·        Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbrine oranı altın oranı verir.

·        ·        Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan koza-lağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

·        ·        Deniz Kabuğu: Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de kolleksiyon yapanımız var-dır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tan-jantının altın oran olduğu görülmüştür.

·        ·        Elektrik Devresi: Verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç altın orana eşittir.

·        ·        Kollar: Kolumuzun üst bölmünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun ta-mamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

·        ·        Mısır Pramitleri: Her bir piramitin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir.

·        ·        Mona Lisa Tablosu: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

[2].

FIBONACCI SAYILARI

İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar. Bu probleme göre arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre Fibonacci'nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur?

İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun. Matematik problemlerinde bu yavruların anasız babasız nasıl büyütülecekleri konusuna pek girilmez. İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşanımız var. Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verecek ve iki çift tavşanımız olacak. Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak, oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu şekilde devam edersek pek bir yere varamayacağız galiba. Düşünsenize 100.aya kadar hesabı böyle götürmemiz mümkün mü? Örneğin 100.ayda kaç tavşanımız olacağını doğrudan hesaplamaya çalışalım. 99.ayda kaç tavşanımız varsa onların hepsi 100. ayda da olacak. Bunların bir kısmı yavrulayacak. Yavrulayacak olanların en az iki aylık olması gerektiğine göre 100. ayda yavrulayacak olanlar 98.ayda sahip olduğumuz tavşanların hepsi olacak. Demek ki 100. aydaki tavşan sayısını bulmak için 98.aydaki tavşan sayısıyla 99.aydaki tavşan sayısını toplamak gerekiyor.

Bu hesaba bazı itirazlar yükselebilir. Biz sadece 100. aydaki sayıyı merak ediyorduk. Şimdi onu bulmak için hem 98. hem de 99. aylardaki sayıyı bulmamız gerekecek. Bu hesabı 100. ayda değilde üçüncü aydan itibaren yapalım. Birinci ve ikinci aylarda birer çift tavşanımız vardı. Demek ki üçüncü ay iki çift tavşanımız olacak. İkinci aydaki bir çift ile üçüncü aydaki iki çifti toplarsak dördüncü ay üç çifti bulacağız.

 Buna göre Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

F₁ = 1

F₂ = 1

F_n = F_n-1 + F_n-2 ,  n>2

Buna göre Fibonacci sayılarının ilk birkaç tanesi şöyle sıralanır:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946...

Bu arada unutmadan 100.ayda kaç çift tavşanı olacak sorusunun cevabı da şöyle:

F₁₀₀ = 354 224 848 179 261 915 075

[2]. 

RASTLANTILARIN ŞAŞIRTICI BENZERLİĞİ

Rastlantılar insanların her zaman ilgisini çekmiştir.  Raslantıların şaşırtıcı benzerliğini görmek için şu örneği inceleyelim:  Bir yılda 366 gün olduğuna göre (şubatı 29 gün sayıyoruz), bir g-rupta doğum günleri aynı olan en az iki kişinin bulunduğundan emin olabilmemiz için, o gru-bun 367 kişiden oluşması gerekir. Niçin?

Ya bundan % 50 emin olmakla yetinseydik? Bir grupta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığının yukarıdakinin yarısı kadar olabilmesi için, grubun kaç kişiden oluşması gerekir?   İlk tahmininiz, 365’in yaklaşık yarısı olan 183 olabilir.  Oysa sürpriz yanıt, grubun sadece 23 kişiden oluşması gerektiğidir.  Başka bir deyişle, rasgele seçilen 23 kişi içinde, % 50 olası-lıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır. Buna inanmakta zorlanan-lar için, aşağıda bu sonucun nasıl elde edildiğini kısaca gösterelim:

Çarpım prensibine göre, beş tarihi seçebilmek için (365x365x365x365x365=3655) yol vardır (tekrara izin verilmesi koşuluyla). Fakat 365⁵ yolla seçilen bu günlerin çakışmaması, ancak şu şekilde mümkündür: (365x364x363x362x361).  Bu son çarpımı (365x364x363x362x361)’i  365⁵ ‘e bölersek, rastgele seçilen 5 kişiden hiçbirinin doğum günleri aynı olmayacaktır.  Şim-di bu olasılığı 1’den (ya da eğer yüzde hesabı yapıyorsak % 100’den) çıkardığımızda, 5 kişi-den en az ikisinin doğum günlerinin aynı olduğu, tamamlayıcı olasılığı elde ederiz.  5 yerine 23 kullanarak yapacağımız benzeri bir hesap, 1/2 ya da % 50 sonucunu verir.  O halde, 23 kişiden en az ikisinin ortak doğum gününe sahip olma olasılığı sözkonusudur.

Birkaç yıl önce bir televizyon şovundaki konuklardan biri bunu açıklamaya çalışmıştı.  Sunu-cu ona inanmadı.  Stüdyoda 120 izleyici bulunduğunu söyleyerek, kaç kişinin doğum günü-nün kendisiyle aynı olduğunu sordu. (onunki 19 Mart’tı.) Stüdyoda onunla aynı doğum gün doğmuş kimse yoktu.  Bunun nedeni, herhangi bir ortak doğum gününün bulunmasının  % 50 kesinlik kazanması için gerçekten de en az 23 kişi bulunması gerektiği, fakat bu durumun, belli bir doğum günü, örneğin 19 Mart için geçerli olmadığıydı.  19 Mart gibi belli bir günün, g-ruptan birinin doğum günü olduğundan % 50 emin olmak için, daha büyük bir grup, tam sayı vermek gerekirse 253 kişi gerekir.  Bunun ispatı ise şöyledir:

Gruptan birinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı 364/365 olduğuna ve doğum günleri birbi-rinden bağımsız olduğuna göre, iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı  (364/365)x(364/365) ‘tir.  Yani N kişinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı (364/365)N ‘dir.  N=253 olduğunda, bu sonuç yaklaşık 1/2’ye eşit olur.   Büylece 253 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayıcı olasılığı da 1/2 ya da % 50 ‘dir.

Bundan çıkarılacak sonuç, gerçekleşme olasılığı düşük bir olayın olasılığının, belirli bir ola-yın gerçekleşme olasılığından çok daha yüksek olduğudur.

Matematik yazarı Martin Gardner, genel olaylarla belirli olaylar arasındaki farkı, üstünde al-fabenin yirmialtı harfinin bulunduğu bir çarka benzeterek açıklar.  Çark yüz kez döndürülüp, çıkan harfler kaydedilirse, "KEDİ" ya da "SICAK" sözcüklerinin ortaya çıkma olasılığı çok dü-şükken, herhangi bir sözcüğün ortaya çıkma olasılığı yüksektir.

Sonuçtaki paradoks, düşük olasılığa sahip olayların gerçekleşmeme olasılığının çok düşük olmasıdır.   Öngörülen olayı kesin olarak belirlememeniz halinde, bu genel olayın gerçek-leşmesi için sayısız yol vardır.  Çok ender gerçekleşen öngörüler sadece belirli olanlardır        [ 4,5].

MATEMATİK TARİHİNDE BİLGİ KAYNAKLARI

Yeterli bir matematik bilgisi ile, iyi bir araştırma zihniyetine sahip olmak gerekir. Böyle olunca da araştırma için gerekli bilgilerin kaynağı olan, yabancı dilleri bilmek gerekir. Daha sonra da, bilimin ilk yazılı belgelerinden, yani bilgi kaynaklarından olan; papirüs, kil tablet, mağara resimleri, parşomen kağıtlar, çivi ve resim yazılarını okuyabilecek kadar bilmek gerekir.

Diğer bir husus da; bilimin etkin olduğu devrelerin bilim dili olan, Latince, Arapça ve Farsça dillerini bilmek gerekmektedir. Ayrıca, zamanın bilim dili olan ve bugün ölü dil olarak kabul edilen Sanskritçe ve Pevleviceyi de bilmek gerekmektedir. Pek doğaldır ki; bu kadar geniş bir bilgiyi, bir bilim tarihçisinin veya matematik tarihçisinin bilmesi pek zor bir iştir. Ancak; gerekli durumlarda, konu ile uzmanlaşmış kimselerle işbirliği yapmak veya eserlerinden yararlanmak gerekir [1].

KOMPLEKS SAYILARIN FİZİK VE ELEKTRİKTEKİ UYGULAMALARI

Düzlemde bir vektör bir kompleks sayı ile  temsil edilebilir. Şöyleki, ( x , y ) vektörü  x + iy kompleks sayısını belirtir, bunun tersi de  doğrudur. Şimdi Hız = x + iy vektörünü göz önüne alalım, burada x hızın yatay bileşeni y ise dikey bileşenidir. Dolayısıyla, kompleks sayıları toplayarak bunlara karşılık gelen vektörlerin toplamını bulmuş oluruz ki  bu da bileşke vektördür.

Örnek.

            İki düzlemsel kuvvet bir cisme aynı noktadan etki etmektedirler. Bu kuvvetler,          F₁ = 3 + 2i ve F₂= -5 + 4i dir. Bileşke kuvveti ve büyüklüğünü bulalım.

F(Bileşke Kuvvet ) = F₁+F₂ ( Vektörel Toplam )

                             F= (3 + 2i) + (F₂= -5 + 4i) = -2 + 6i   dir.

Bu toplama işlemi, düzlemde vektörlerin toplamını ifade eden paralel kenar metodu olarak bilinir.

            F nin büyüklüğünü Pisagor teoreminden hesaplarsak,

            | F | = =6,32 N dur.

            Kompleks sayıların ikinci bir uygulama sahası da elektrik devreleridir. Biliyoruz ki indüktif devrelerde direnç üzerindeki akım ile voltaj bir faz farkı ile birbirini takip eder. İndükleyicinin voltajı  ile  akım arasındaki faz farkı 90^o  veya p/2 radyandır. İndüktif ve kapasitif devrelerde voltaj kompleks sayı biçiminde yazılabilir. Dolayısıyla

V_Z = V_R + V_L = I.R + i.I. X_L

Dir. Buradan;

V_Z = I Z_L = I R + i I X_L = I (R + i X_L) dir. İki tarafı I ile bölerek

Z_L = ( R + i X_L )

Bulunur. Bu da indüktif devrenin Z_L empedansının kompleks biçimidir.

Örnek. İki empedans ( 3+8i) ve (2+3i) kompleks sayıları ile veriliyor. Bileşke empedansı kopmleks biçimde yazıp büyüklüğünü bulalım. Bileşke empedanstan geçen voltaj ile akım arasındaki faz açısını hesaplayalım.

            F(Bileşke empedans) = (3+8i) + (2+3i) = 5+11i   dir. Bileşke empedansın sanal kısmı  pozitif ve 11 olduğundan devre indüktiftir ve X_L = 11W dur. Bu kompleks sayıyı kutupsal

biçime çevirirsek .,

r.cosq = 5 ve r.sinq = 11

olup, r² = 5² + 11² = 146 ise r = 12,083 veya elektrik devrelerinde , |Z_L|² = R² + X_L² dir. Bu sebebten, r = | Z_L| olup, bileşke empedansın büyüklüğü r=| Z_L|=12,083 W, r.cosq = 5 ve    r.sinq = 11  olduğundan tgq =11/5 = 2,2 ise  q = 65,56^o dir.

[3].

Kaynaklar.

1.   Lütfi Göker - Fen Bilimleri Tarihi

2.   Sinan Sertöz (TÜBİTAK) - Matematiğin Aydınlık Dünyası

3.   Doç.Dr. Sabahattin  BALCI, Meslek Yüksek Okulları İçin Genel Matematik

4.   Sanal Matematik - http://www.sanalmatematik.com

5.   John Allen Paulo, Herkes İçin Matematik